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HPM的最佳伴手禮:推薦蘇惠玉的《追本數源》

蘇惠玉老師出版這本HPM專書,較之於我自己的著作出版,我的雀躍與期待絕對是有過之而無不及。這種心情就好比看到年輕後輩終於獨當一面一樣,因此,我想藉此機會欣然分享二十幾年來,開拓HPM這個新興學門的價值與意義。

所謂HPM,原是指一個國際研究群 International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics的縮寫,後來,逐漸演變成為一個學門的簡稱。這個學門的主旨,是為了探索數學史與數學教學的關連。事實上,就學門的分類來說,它是橫跨數學史與數學教學(研究)的一門新興學問,也因此,它的理想目標要是連結到數學教育的現實,無非是數學史與數學教學的研究結果之互惠。

HPM與我的直接關係要從一九九六年談起。當年夏天,我前往葡萄牙參加HPM 1996 Braga。那是四年一度的ICME(International Congress on Mathematics Education)之衛星會議,在會場我得以認識John Fauvel(英國數學史家)與Jan van Maanen(荷蘭數學史家),他們分別是1996-2000、2000-2004年間的HPM主席。由於下一屆ICME 2000即將在東京舉行,所以,他們希望我承辦 HPM 2000。這是HPM的國際慣例,顯然大家都希望ICME與HPM分別在鄰近國家舉行。或許是基於數學史同行的某種默契吧,我沒有經過太多考量就承擔下來。

我當年所以決定接手,多半由於我年少時的數學普及夢想所引發的數學史研究志業。記得我在1981年出版的《中國π的一頁滄桑》自序中,就特別引述數學史家Morris Kline懷抱HPM精神的證詞:「循著歷史的軌跡介紹數學,這種方式是獲得理解、深入體會的最佳途徑。」現在,既然有這種機緣籌備此一盛會,就當作一種HPM實踐吧。另一方面,我有把握屆時好多學生可以提交學術報告,撐起在地的所謂「主場優勢」,同時他們也會樂意擔任HPM會議的志工。事實上,我的學術生涯最值得驕傲的一件事,就是在1991年榮獲科學史博士學位之後,有幸指導相當多位非常優秀學生(如蘇惠玉等人)撰寫數學史相關論文,他們大都從大四開始選修我開授的「數學史課程」,因而深深地被這門學問所吸引。

公元兩千年七月,HPM 2000 Taipei如期舉行,也如預期地博得好評。不過,在所有的行政資源支援中,最具有意義的一項,就是我也從當時的國科會獲得些許補助,得以創辦《HPM通訊》,藉以推動在地的HPM,並分享HPM的研究成果以及相關資訊。至於這個刊物的主編,就邀請蘇惠玉擔任,從1998年10月一直到今天,她可以說是臺灣HPM的永遠志工。

由於惠玉的堅持與慧識,這份小眾刊物維持了我們臺灣HPM伙伴的學習動能。近二十年來,我們在數學史研究與HPM上的實踐,都在這個通訊上留下了珍貴的點點滴滴。業師道本周(Joseph Dauben)甚至以「通訊團隊」稱呼我們這一組數學史的愛好者。事實上,有許多伙伴都是由於惠玉的不時敦促,而在這個刊物上留下深具紀念性的文章,其中,當然包括惠玉本人的長期耕耘成果。

這些成果的精緻版本,其中就有部分收入這本《追本數源》。全部的這二十七篇「你所不知道的數學秘密」,大致可分為四類。在這四類中,第一類所包括的單元(第1-15篇)有:

(1) 數學概念:無理數、虛數、對數、費式數列、黃金分割比、 向量(含複數)、巴斯卡三角形(含巴斯卡傳記);

(2) 數學公式:餘弦定律、海龍公式、歐拉最美的數學公式;

(3) 數學理論:三角學、圓錐曲線、機率初步;

(4) 數學方法:數學歸納法、三次方程式解法(及優先權之爭辯)、高斯消去法的預備。

其中,〈機率初步〉(第9篇)可以「抽出」與〈機率論發展的第二樂章〉(第19篇)及〈統計學的興起與發展〉(第20篇)並列,合為第二類。另外,第16-18篇主題都是天文學的數學模型,可單獨成為第三類。至於第22-27篇等六篇,則是有關微積分的故事,我將它們歸屬為第四類。

(我的)上述分類多少忽略了年代學因素,不過,如此會比較方便我們推薦這些材料作為「特定的」教學用途。基於此一考量,首先,我要鄭重推薦第二類,因為在這三篇文章中,惠玉從數學史切入,為我們呈現了機率與統計之關係的一個簡要輪廓,譬如,她評論說:「當數學家由觀察事件發生的機率,推論事件真實機率的近似值時,就需要用到統計了。」這對於想要釐清所謂的「統計思考」之意義的老師(譬如我自己)來說,尤其是不可多得的參考教材。

另一方面,第四類文章可充當微積分特色課程之教材。惠玉從有關無窮概念的問題談起,總共處理了它們的三個面向:芝諾悖論(Zeno paradox)、潛在無窮與實在無窮(之對比),以及不可分量(indivisible)與無窮小量(infinitesimal)。然後,再以另三則故事來說明微積分的誕生,其中涉及數學家除了牛頓與萊布尼茲之外,還論及沃里斯(Wallis)及費馬所扮演的過渡角色。不過,最重要的數學史洞識,莫過於她引述數學史家凱茲(Victor Katz)的見解,說明何以我們會將牛頓與萊布尼茲並列為微積分的發明人。這對於喜歡「提問」並「告知」「誰率先發明○○○?」的人來說,頗有醍醐灌頂之功!因為唯有深入(知識的及歷史的)脈絡,我們才能判斷此類提問是否恰當?或者,即使問題有意義,是否還適合簡單的回答?

再有,本書第三類文章針對「西方歷史上的數學與天文之關係」,提出了非常詳盡的解說與圖示。惠玉深入相關原典史料所進行的論述與敘事,說明她打算為這一類特色課程,提供一個相當前瞻的參照,讓高中教師同行借鏡。她的故事始於托勒密的《大成》,經歷哥白尼天文學革命,終於克卜勒的行星三大運動定律。針對克卜勒最終發現橢圓的天文(物理)意義,惠玉給了十分動人的評論:「如果當初克卜勒沒能打破一千多年來對圓形軌道在哲學、美學與宗教上的『盲目』信念,或許我們現在還體會不到這個宇宙簡單、純粹與和諧之美。」

最後,我們回到本書第一類文章。這一類所涉及的,都是HPM「曝光率」最高的單元。也因此,這些故事要說得別出心裁,尤其需要數學史、HPM的素養與功力,甚至是數學知識本身的洞察力。譬如說吧,惠玉在〈有意思的餘弦修正項〉(第11篇)一文中,針對畢氏定理 vs. 餘弦定理之對比,就提出了非常有趣的觀察:「一般定理的出現都有其脈絡,當數學家們發現了直角三角形三邊所作的正方形有著畢氏定理這樣的關係時,接下來感興趣的課題自然而然就是非直角三角形時是否保持一樣的關係?或是要作如何的修正?從特例到通例,從熟悉的已知推廣到未知,餘弦定理的出現脈絡為數學定理的發現做了個很好的示範。」

還有,在〈圓錐曲線的命名〉(第15篇)一文中,對比高中數學教材僅從代數面向來看待拋物線、橢圓與雙曲線,惠玉從「問題的起源、名稱的由來以及表徵方式」,重新考察這三個曲線,從而進一步發現「正焦弦」在「徒然」計算之外的重大意義。原來這個線段的長度,都出現在阿波羅尼斯圓錐截痕(conic sections)的表徵之中。因此,針對圓錐截痕的不同定義方式,她明確指出:「仔細觀察就可發現它們都有個相同不變的形式,那就是相等(parabola,拋物線)、超過(hyperbola,雙曲線)與短少(ellipse,橢圓)。藉由這個因性質而起的名字由來,圓錐截痕(圓錐曲線)的觀念得以整合成一體,而不再只是零碎的三個不相關曲線而已。」

這個有關正焦弦的故事,在數學與數學史兩方面都深具洞識,是數學教師專業發展中不可多得的範例。惠玉在《HPM通訊》發表後沒多久,我在MAA所發行的Convergence線上期刊上,也發現類似的論述,「德不孤必有鄰」,充分見證惠玉乃至於臺灣團隊伙伴的HPM之國際化視野。

總之,無論從教師專業實作成果,或是數學史甚至是HPM研究來看,本書都忠實地反映作者的深厚學養。它字字珠璣,筆調溫暖,而且洋溢著數學知識活動的練達反思。所有這些,都保證了它的HPM跨界(譬如國界)可能性。因此,本書將是HPM的最佳伴手,也是HPM伙伴獻給臺灣數學教育界的最佳禮物。透過它,我們一定可以想像數學教育的更美好未來!

洪萬生
2017年11月寫於木柵仙跡巖末端

定 價:260元
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本書以圓錐曲線為核心主題來開展,內容從歐氏曲線,到圓柱曲線,再到圓錐曲線,最後總結於解析幾何的二次曲線以及各種物理應用,不斷地動態生長連貫擴展,觀念清楚,邏輯的層次井然。

古希臘數學約從西元前600年開始,經過三百年的發展,在西元前300年左右於尼羅河出海口的亞歷山卓(Alexandria)成熟,形成希臘數學的黃金時代(the golden age of Greek mathematics),最主要的代表人物是三位偉大的數學家:歐幾里得(Euclid,約西元前315~前255年)、阿基米德(Archimedes,西元前287~前212年)與阿波羅尼奧斯(Apollonius,約西元前262~前190年)。

歐幾里得在約西元前300年寫了13冊的《原本》(The Elements),創立歐氏幾何學,首度提出公理-演繹的模型(Axiomatic-Deductive Model),成為往後數學理論的典範。《原本》的內容包括平面幾何、比例論、整數論、不可共度量的分類與立體幾何。他採用綜合的證明方法推導出467個定理,總結了古希臘的數學成就。

阿基米德求得圓、拋物弓形的面積,估算圓周率,求柱、錐、球的體積與表面積。他採用窮盡法,配合兩次歸謬法,成功地避開取極限的無窮步驟論證法,這讓他悄悄地來到微積分的大門口,只差臨門一腳的功夫,因而被尊稱為數學之神的阿基米德,但仍然是受到他所處時代的局限。

阿波羅尼奧斯著有8卷的《圓錐曲線論》,也採用綜合的證明方法推導出487個定理。這也是一項了不起的成就,讓他贏得「偉大幾何學家」的美名。

埃及的托勒密國王問學於歐幾里得,覺得幾何學不易學習,於是問道:學習幾何有沒有捷徑?歐幾里得回答說:世上有專為國王而鋪設的道路,但卻沒有皇家大道通往幾何學。歐氏的綜合演繹法是有局限的,無法施展數學另外半邊的計算功能。一直要等到兩千年後的十七世紀上半葉,笛卡兒(Descartes,1596~1650年)與費瑪(Fermat,1601~1665年)提出坐標系的方法,溝通了代數與幾何,後人稱為這就是幾何學的皇家大道,為往後的微積分與物理學奠基。用坐標的新方法重新看圓錐曲線,於是有了二次曲線的理論,更加完備又完美。

圓錐曲線的理論,從阿波羅尼奧斯開始,默默為數學與科學打底兩千年。我們可以說,若沒有圓錐曲線,就沒有克卜勒(J.Kepler,1571~1630年)的行星運動三大定律,也沒有微積分,從而沒有近代科學,沒有近代的數學。

首先我們綜觀全書的內容,按歷史發展的順序,分成下列四個階段:

1.歐氏曲線

歐氏平面幾何由直尺與圓規所作出的直線開始,兩者交織出來的圖形世界,是歐氏幾何學研究的主題。我們稱為歐氏曲線,有2種。這是歐氏首度以公理-演繹-證明的方式建構成功的數學系統。雖然簡單,但是內容豐富。

2.圓柱曲線

接著,用直線與圓動出圓柱曲面,再用平面去交截,所得到的曲線叫做圓柱曲線,總共有4種:一直線兩平行線橢圓。只有橢圓是新生的圖形,容易就得到它的刻劃條件。前兩者為退化的圓柱曲線。

3.圓錐曲線

再來是用直線與圓動出圓錐曲面,再用平面去交截,所得到的曲線叫做圓錐曲線,更豐富,總共有7種:一點一直線兩相交直線橢圓拋物線雙曲線。後四種為非退化的圓錐曲線,是我們真正想要研究的對象,分別都得到它們的刻劃條件。注意到,圓柱曲線下的橢圓與圓錐曲線下的橢圓,刻劃條件相同,所以沒有區別。

對於非退化的圓錐曲線至少有三種刻劃,有了一種刻劃就可以寫出一種方程式,讓圖形與方程式合一,計算與證明並用。

4.二次曲線

利用坐標幾何,以上所有的曲線都可以用一般的二元二次方程式統合起來,總共有10種曲線,簡稱為二次曲線,其中非退化的情形仍然只有橢圓拋物線雙曲線
代數方程式的統合力雖然超強,但是也帶來了一些麻煩。同一個圖形,因取的坐標系不同,方程式的表現就不同,所以就有標準形。一個二次方程式透過坐標系的平移與旋轉,就可以變成標準形,從而判別出是何種圖形。這裡會牽涉到一點兒線性代數。

5.圓錐曲線在物理上的應用

最後一章談論圓錐曲線在物理上的應用,主要是光學的應用,反射定律與折射定律,以及天文學的克卜勒行星運動三大定律。這是牛頓(Newton,1643~1727年)探得萬有引力定律的切入點。事實上,任何一條圓錐曲線 (包括退化與非退化) 都有自然現象的對應。
伽利略(Galileo Galilei,1564~1642年)說:

自然之書(Book of Nature)恆打開在我們的眼前,它是用數學語言寫成的,所用的符號是三角形、圓形與其他幾何圖形。不懂數學就讀不懂這本書。

幾何學(Geometry)的本意是測量土地,三角學(trigonometry)是測量三角形,所以最初三角學是幾何學的幫傭。幾何學不外是研究長度角度垂直投影切線面積體積表面積。對於圓錐曲線的研究,一路上伴隨著數學方法的演進:從毆氏幾何的綜合法,三角法,到笛卡兒的坐標法,以及更後來的向量法、複數法、變換法。坐標系還分成直角坐標系與極坐標系,都各有優點,這些本書都用心加以呈現。

本書把圓錐曲線與二次曲線的概念清楚分辨,沒有混著談。高中教科書對橢圓與雙曲線採用焦點距的定式,對拋物線卻採用焦準式,並且一上來就給出定義,就像魔術師突然從帽子裡抓出小白兔。然而,本書從根源切入圓錐曲線,讓人看清來龍去脈,這是難能可貴處。本書最特別的是,具有有歷史的長程綜觀,還有方法論的連貫。

作者任教於成淵高中,對數學執著,帶領科展屢創佳績,拔得頭籌。本人樂於推薦本書給中學生與高中數學教師研讀。

蔡聰明
2017年12月

                                                                                                                     
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