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洪萬生(臺灣數學史教育學會理事長)

《數思漫想》的普及膽識

這是一本蠻獨特的數學普及書籍。一方面,作者寫作兼插畫(或創作漫畫),將他自己對於抽象數學的理解發揮得淋漓盡致。另一方面,他的論述與敘事似乎也無意討好「嗜讀」數學的「文青」,而鋪陳一些了無新意的數學知識活動。

這或許多少可以解釋作者何以一開始就企圖說明「什麼是(現代)數學?」他的答案以及在本書中的相關書寫,都呼應了多位數學家/數學普及作家(譬如史都華(Ian Stewart)、德福林(Keith Devlin)的看法,亦即「數學是(探索)模式的科學」(the science of patterns)。因此,(抽象)數學結構的美之呈現,正是本書的題旨,而這當然也區別了本書與許多數學普及書籍的風格。事實上,作者在自序就強調:「本書意圖針對具有不同數學能力的讀者,旨在幫助這些讀者欣賞和享受現代抽象數學的美,並激發他們學習其他數學主題的興趣和思維方式。為了保持讀者的熱情,作者企圖使用很多具體的例子來盡可能地說明一般概念的樣貌。」

那麼,作者究竟如何以具體例證說明現代抽象數學的「美感」?或許我們從本書的目錄,即可略窺它的些許風貌。本書十章依序是:什麼是現代數學?模式的科學、抽象與思想實驗、集合與無限、數學歸納法、代數的結構、模算術、中國的計數、對稱性探索,以及代數系統。其中,第三章「抽象與思想實驗」就是在強調抽象思維的重要性。至於「集合與無限」、「數學歸納法」、「代數的結構」、「模算術」,以及「代數系統」各章,都意在凸顯抽象結構的重要性,以及它們可以展現的「美感」。我們一旦能夠脫離具體層次而進入抽象結構進行思維活動,就可以在具體應用價值之外,「用不同觀點看待事物」或「洞察到他人所沒有想到的類比關係」。譬如說吧,以本書第六章「定義明確的二元運算」(well-defined binary operation)為例(pp. 99, 207),一支棒球隊的三季勝率依序為 、 及 ,因此,三季勝率總結為 ,亦即在39場中贏了21場。作者特別指出:由於「數字 、 及 並不是有理數。 且 。它之所以可以運作,是因為(作為函數的) 只有一個映成數」。

至於無限集合之(可)比較(本書第四章),也是抽象思維的一個極為有趣的案例。在其推論過程中,吾人運用簡單可行的抽象思考去掌握模式,就可以讓不可見的世界現身(making the invisible visible)。再有,本書pp. 37-45所介紹的思想實驗(thought experiment)及其例子,譬如「小約翰的思想實驗――環遊世界」、「伽利略的帆船實驗」,以及「愛因斯坦的火車實驗」,都足以說明「思想實驗就是一種抽象思考的方法。它允許我們在想像中檢驗假設或者理論,而不是在實驗室中。」事實上,上述後兩個實驗是科學史上最偉大的兩個案例,對於近代物理學的發展,發揮了巨大的作用。

對於一般讀者或科學文化消費者而言,上一段三個「思想實驗」所涉及的「抽象程度」,實際上遠遠不及本書所介紹的群論(group theory)。在本書第十章(最後一章)「代數系統」中,作者簡要說明「同構」(isomorphism)之意義:「一些群或許表面上看起來並不相同。如果任意兩個群有相同的代數結構(algebraic structures),則它們在實質上是相同的。」他進一步引進「同態」(homomorphism)之概念及其用途:「在群論中,同態的主要用途就是創造一個函數例如 ,使得我們可以藉由觀察像或對應域(domain)A的可能。就像是透過實物的照片來推論真正的實物一樣。」還有,他更輔以漫畫點出「同態的核」(the kernel of the homomorphism)之意義:「同態的核,就是對於一幅景象,從不同的觀點來看,會發掘到不同的特徵。」這顯然涉及敘事(narrative)中的比喻(metaphor)之運用,作者的「圖解」難免讓人意猶未盡,希望有心的讀者自行發揮創意。

從群論觀點來看,同態是指兩個群之間保持結構不變的映射或函數。至於同構,則是它的特例,因為其中之函數被要求一對一映成。基於正實數的乘法群與實數的加法群同構之事實,作者說明計算尺――風行於1970年以前、然後被電子計算機取代的計算器――的操作原理。還有,作者自創的諾亞方舟一對小毒蛇被要求繁殖的俏皮比喻,表現了十足風趣的數學驚奇。比喻涉及概念的翻譯或轉換,因此,抽象概念的解說至關緊要。難怪在本書中(尤其是「代數系統」這一章),作者安排相當多的篇幅,來解釋群論等代數結構的相關定義或概念。所有這些,作者甚至輔以插畫或漫畫來強化說明。

如果這些創意書寫還不足以指出(抽象)數學的價值及意義,那麼,請看作者的加碼註記:四元群(quaternion group,一種非交換群)的應用層面很廣,在機器人、電腦動畫、電腦視覺、量子物理以及結晶學的應用,都非常有貢獻。

事實上,本書第八章「中國的計數」主題就是中國餘式定理及其在密碼學上的實際應用,不過,那是在第七章「模算術」理論已經充分鋪陳之後的安排,比較像是呼應作者的「夫子自道」:使用很多具體的例子來盡可能地說明一般概念的樣貌,目的是為了保持讀者的熱情。的確如此!我最喜歡的一個例子,就是作者用以解說「有限差分法的模式」:

在下面的數字中,有一個數字寫錯,請問是哪一個呢?

1 3 6 11 20 31 48 71 101

總之,這是一本不以數學「有用」作為主要訴求的普及書籍。各章內容都鮮少以數學的應用價值為主要考量。這種書寫進路的確與我們科學文化界或教育現場動輒強調數學「如何有用」不無落差,值得我們注意作者的普及關懷所在。事實上,無論本書是否真實呼應作者所期待的中學到大學之「數學銜接」,他針對本書的論述、敘事乃至插畫,的確充滿了個人風格,非常值得我們極力推薦。

本書的插畫或漫畫也特別值得一提,因為這些有時充滿數學洞識的漫畫,不但可以拉近數學與圖像世代讀者之距離,同時,也因為它們擁有自我解說(self-explanatory)的功能,而開創了普及敘事的更多可能。因此,本書非常適合大學數學通識(尤其是嗜讀文青所選修的)以及高中多元選修等課程。對於打算隨時複習大學所學數學的中學教師,本書更是絕佳選擇。


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